作者提出了一种黎曼法坐标下的 Levenberg-Marquardt 方法（RNC-LM），以解决标准 LM 切空间步长的局限性，后者在参数坐标中应用直接更新。通过重新表述测地线方程，RNC-LM 将测地线加速扩展到任意阶修正，并构建了具有渐进更高重参数化一致性的有限步更新。

  • 该方法在移动切空间中逐阶消除残差加速度的切向分量。
  • 沿所得 RNC 曲线的线搜索控制行进距离，同时保持成本接近标准 LM。
  • 在经典非线性最小二乘基准测试中，RNC-LM 改善了弯曲山谷和秩亏问题中的收敛性和鲁棒性。
  • 在反应扩散 PINN 故障模式基准测试中，它将相对 L2 误差降低到 1e-3 的数量级，并恢复了具有物理意义的解。
  • 在大规模机器学习势能面拟合任务中，它实现了比标准 LM 快 34 倍的加速。

RNC-LM 使实际的目标函数减少与 LM 的线性模型预测更加一致，从而增强了复杂优化景观中的性能。