Внутренняя модель Astra от OpenAI нашла решения десяти давних открытых задач в области математики и теоретической информатики, при этом аргументы были формализованы в Lean. Эти результаты охватывают многомерную геометрию, теорию кодирования, теорию групп и квантовую сложность, отвечая на вопросы, по которым не было прогресса как минимум десять лет.

  • Упаковка сфер в многомерном пространстве: Новые верхние границы плотности упаковки сфер вплоть до порога Коэна–Элькиеса.
  • Бинарные и сферические коды: Экспоненциально улучшенные границы максимального размера бинарных кодов при любом заданном минимальном расстоянии.
  • Несофические группы: Конструкция, доказывающая существование несoфических групп, что решает центральный открытый вопрос теории групп.
  • Гипотеза жёсткости Коннеса: Опровержение давней гипотезы о том, что определённые группы однозначно определяются своими алгебрами фон Неймана.
  • Сложность арифметических схем: Новые нижние границы для вычисления перманента с помощью арифметических схем и формул.
  • Квантовое параллельное повторение: Теорема о экспоненциальном параллельном повторении для общих двухигроковых квантовых игр.
  • Задача ближайшего вектора: Полиномиальная сложность аппроксимации задачи ближайшего вектора, связанная с постквантовой криптографией.
  • Гипотеза Эрхарта о объёме: Определение максимально возможного объёма выпуклого тела, центроид которого является единственной внутренней узловой точкой в любом измерении.
  • Многоцветные числа Рамсея: Суперэкспоненциальная нижняя граница для многоцветных треугольных чисел Рамсея, решающая задачу Эрдёша 183.
  • Гипотезы о экстремальных числах: Результаты по гипотезам компактности и вырожденности в экстремальной теории графов, решающие задачи Эрдёша 146 и 180.

OpenAI подчёркивает, что хотя люди подготовили рукописи и формализовали доказательства, математические аргументы были сгенерированы системой, что ставит вопросы об авторстве и роли ИИ в исследованиях.