يستنتج المؤلفون حدودًا لحجم الأحياء الأنبوبية للأسطح الفائقة الملساء من نوع بافيان، مما يعمم النتائج المعروفة للمتعددات الجبرية بدلالة تنسيق بافيان للدوال المحددة.
كأحد التطبيقات، يحصلون على حدود للذيل في توزيع الاحتمال لرقم الحالة الذي يقيس متانة مصنفي الشبكات العصبية ذات دوال التنشيط من نوع بافيان في كل من الإعدادات الموحدة والغوسية. بالنسبة للشبكات ذات الطبقة المخفية الواحدة ودوال التنشيط السينوي والأوزان النسبية، يتم اشتقاق حدود متعددة الحدود بالنسبة للعرض للأحياء الأنبوبية لحدود القرار.