Авторы выводят оценки для объема трубчатых окрестностей гладких гиперповерхностей Пфаффера, обобщая известные результаты для алгебраических многообразий в терминах пфаффиева формата определяющих функций.
В качестве приложения они получают хвостовые оценки для распределения вероятностей числа обусловленности, измеряющего устойчивость классификаторов нейронных сетей с функциями активации Пфаффера как в равномерном, так и в гауссовом случаях. Для сигмоидальных сетей с одним скрытым слоем и рациональными весами выводятся полиномиальные по ширине оценки для трубчатых окрестностей границы принятия решения.